दोस्तों इस पोस्ट में हम यूक्लिड डिवीज़न Euclids division lemma/algorithm 1/5/2021 के बारे में डिटेल में समझेंगे।
Q.(1) अब हम यूक्लिड डिवीज़न लेमा / अल्गोरिथम के बारे में जानेंगे ?
Ans:
a = b × q + r भाज्य = भाजक * भागफल + शेषफल
जहाँ पर a और b धनात्मक पूर्णांक हे। q भागफल और r शेषफल हे
a = b * q + r
को ही Euclid division lemma / algorithm कहते हे।
अब हम यूक्लिड lemma को part wise समझेंगे।
ENGLISH TRANSLATION :
Q.(1) Now we will learn about Euclid's Division Lema / Algorithm?
ANS: a = b × q + r
dividend = divisor * quotient + remainder
where a and b are positive integers. q is the quotient and r the remainder
a = b * q + r is called Euclid division lemma / algorithm.
Now we will understand Euclid's lemma part wise.
Q.(2) एल्गोरिथ्म क्या हे ?
उत्तर : एल्गोरिथ्म एक सिद्ध किया हुआ कथन हे ,इसका उपयोग किसी दूसरे कथन को सिद्ध करने में किया जाता हे।
इसको वैज्ञानिक यूक्लिड ने दिया इस वजह से इसका नाम यूक्लिड लेमा या अल्गोरिथम हे।
Ex: a = b × q + r
इससे हम निम्न प्रकार से लिख सकते हे अगर दो धनात्मक पूर्णांक संख्या a और b की जगह पर 6 और 7 लिया जाये तो lemma/ algorithm को लिखा जा सकता हे।
यहाँ संख्या 7 को निम्न प्रकार लिखा जा सकता हे।
जैसे : 7 = 3 × 2 + 1
(7 को 6 से भाग देकर अपनी कॉपी में लिखे। अच्छे से समझ आ जायेगा।
यहाँ पर a = 7 , b = 3, q = 2 and r = 1 हे।
a = b * q + r एल्गोरिथ्म के प्रकार हे।
जहाँ r का मान 0 हो सकता हे , या 0 से बड़ा । लेकिन पूर्णांक b से हमेशा छोटा ही होगा। साथ ही यह भी ध्यान रखे की a बड़ा होगा b से।
कुल मिलाकर a = b * q + r को ही एल्गोरिथ्म कहते हे। जो की एक तरह का कथन ही हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Q.(2) What is an algorithm?
Answer: Algorithm is a proven statement, it is used to prove another statement.
It was given by the scientist Euclid, for this reason it is named Euclid's lemma or algorithm.
Ex: a = b × q + r
With this we can write as follows: If 6 and 7 are taken in place of two positive integer numbers a and b, then lemma/ algorithm can be written.
Here the number 7 can be written as follows.
For example: 7 = 3 × 2 + 1 (Dividing 7 by 6 and write it in your copy. It will be understood well.
Here a = 7 , b = 3, q = 2 and r = 1 o.
a = b * q + r is the type of algorithm.
where the value of r can be 0, or greater than 0. But the integer will always be smaller than b . Also note that a will be greater than b .
Overall a = b * q + r is called an algorithm. Which is a kind of statement.
एल्गोरिथ्म और लेमा दोनों के बीच बहुत ही मामूली सा अंतर हे अब हम लेमा के बारे में जानने की कोशिश करेंगे।
उत्तर : लेमा किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया हे।
" जो की 1 या अधिक चरणों में पूरी होती हे। यही तो लेमा की परिभाषा हे।
ENGLISH TRANSLATION:
There is a very slight difference between both algorithm and lemma. Now we will try to learn about lemma.
Q.(3) What is Lema ?
Answer: Lema is the process of solving a problem.
That which is accomplished in 1 or more steps. That is the definition of the lema.
By Euclid division lemma/algorithm:
a = b × q + r जहाँ a बड़ा हे b से।
Step
(1) 225 = 135 × 1 + 90 {r=90}
यहाँ a = 225, b = 135, q = 1 , r = 90
अभी शेषफल r = 0 नहीं आया हे इसलिए अगले स्टेप पर जायेंगे।
Note: जब आप अपने कॉपी में 225 को 135 से भाग देंगे तो शेषफल 90 बचेगा। इससे आपको उपरोक्त स्टेटमेंट कैसे लिखा हे समझ आ जायेगा।
Step
(2). 135 = 90 × 1 + 45 {r=45}
यहाँ a = 135, b = 90, q = 1, r = 45
अभी मशेषफल r = 0 नहीं आया हे अब हम step 3 पर जायेंगे। जब आप अपनी कॉपी में 135 को 90 से भाग देते हे तो शेषफल 45 बचेगा इससे आपको ऊपर वाला कथन कैसे लिखा हे समझ आ जायेगा।
Step
(3). 90 = 45 × 2 + 0 (r = 0)
यहाँ a = 90, b = 45,q = 2, r = 0
अब यहाँ शेषफल r = 0 मिल चूका हे ,इसका मतलब हे की समस्या हल हो चुकी हे।
क्युकी यहाँ पर 45 से 90 को भाग देने पर शेषफल शुन्य हो गया हे। इसलिए 135 vs 225 का महत्तम 45 होगा , हमारा उत्तर होगा।
Note: यहाँ पर हमने महत्तम निकलने के लिए 3 चरणों में समस्या को हल किया हे। इस प्रक्रिया को ही लेमा कहते हे।
Lemma = steps of solution.
आशा हे दोस्तों Euclid division algorithm/lemma समझ आ गया होगा।
ENGLISH TRANSLATION:
Q.(4) Now we will understand both the algorithm / lemma by taking example or problem?
Answer: Now we can solve the problem with the help of algorithm a = b * q + r for two integers 135 and
Let's take 225. Where 225 is greater than 135, we will solve the greatest number in different steps. We call this process the lema. And thus the process of solving the problem in different terms is called lemma. In this process we will find the greatest of the positive integers 225 & 135.
By Euclid division lemma/algorithm:
a = b × q + r where a is greater than b.
Step
(1) 225 = 135 × 1 + 90 {r=90}
Here a = 225, b = 135, q = 1 , r = 90
Now the remainder r = 0 has not come so we will go to the next step.
Note: When you divide 225 by 135 in your copy, the remainder will be 90. With this you will understand how the above statement is written.
Step
(2). 135 = 90 × 1 + 45 {r=45}
Here a = 135, b = 90, q = 1, r = 45
Now the remainder r = 0 has not arrived, now we will go to step 3. When you divide 135 by 90 in your copy, the remainder will be 45, this will help you understand how the above statement is written.
Step
(3). 90 = 45 × 2 + 0 (r = 0)
Here a = 90, b = 45, q = 2, r = 0
Now here the remainder r = 0 has been found, it means that the problem is solved.
Because here, after dividing 45 by 90, the remainder has become zero. So the maximum of 135 vs 225 will be 45, our answer.
Note: Here we have solved the problem in 3 steps to find the maximum. This process is called Lema.
Lemma = steps of solution.
Hope you guys have understood the Euclid division algorithm/lemma.
Thank you .
AA