प्रश्न - निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए ?
(1) 135 और 225 (2) 196 और 38220 (3) 867 और 255
हल : (1) 135 और 225
यहाँ पर 225 > 135 इसका मतलब ही हे , यहाँ पर a = 225 और b = 135 होगा।
अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर ,
a = b * q + r
भाज्य = भाजक * भागफल + शेषफल
चरण : (1) 225 = 135 * 1 + 90 (r ,0 नहीं )
1
135⟌225
90
चरण : (2) 135 = 90 * 1 + 45 (r , 0 नहीं )
1
90 ⟌135
- 90
45
चरण : (3) 90 = 45 * 2 + 0 (r =0 )
2
45 ⟌90
- 90
0
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया हे और नया भाजक 45 हे , अतः दी गयी संख्या का महत्तम समापवर्त्य 45 होगा।
ENGLISH TRANSLATION :
Question: Use Euclid's division algorithm to find the greatest common multiple of the following numbers?
(1) 135 and 225 (2) 196 and 38220 (3) 867 and 255
Solution : (1) 135 and 225
Here 225 > 135 means that, here a = 225 and b = 135.
Now using Euclid's Lemma,
a = b * q + r
dividend = divisor * quotient + remainder
Step : (1) 225 = 135 * 1 + 90 (r not 0)
1
135⟌225
- 135
90
Step : (2) 135 = 90 * 1 + 45 (r , not 0)
1
90⟌135
- 90
45
Step : (3) 90 = 45 * 2 + 0 (r =0 )
Since here the remainder is zero and the new divisor is 45, so the highest common multiple of the given number will be 45.
(2) 196 और 38220
हल : यहाँ 38220 > 196 इसलिए , a = 38220 और b =196
अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर ,
a = b * q + r
38220 = 196 * 195 + 0 (r =0 )
19 5
-196
1 8 6 2
-1 7 6 4
9 8 0
-9 8 0
यहाँ शेषफल शून्य हे , और नया भाजक 196 हे ,इसलिए दी गयी संख्या महत्तम समापवर्त्य 196 हे।
ENGLISH TRANSLATION :
(2) 196 and 38220
Solution : Here 38220 > 196 Therefore, a = 38220 and b =196
Now using Euclid's Lemma,
a = b * q + r
38220 = 196 * 195 + 0 (r =0 )
19 5
-196
1 8 6 2
-1 7 6 4
9 8 0
-9 8 0
0
Here the remainder is zero, and the new divisor is 196, so the given number's greatest common multiple is 196.
(3) 867 और 255
हल: यहाँ 867 > 255 इसलिए , a = 867 और b = 255 होगा।
अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर ,
चरण : (1)
a = b * q + r
867 = 255 * 3 + 102
3
255⟌867
102
चरण : (2) 255 = 102 * 2 + 51
2
102⟌255
51
चरण : (3) 102 = 51 * 2 + 0
2
51⟌102
0
यहाँ शेषफल शून्य हे , और नया भाजक 51 हे , इसलिए दी गयी संख्या का महत्तम समापवर्त्य 51 होगा।
ENGLISH TRANSLATION:
(3) 867 and 255
Solution: Here 867 > 255 Therefore, a = 867 and b = 255.
Now using Euclid's Lemma,
Phase 1)
a = b * q + r
867 = 255 * 3 + 102
3
255⟌867
- 765
102
Step : (2) 255 = 102 * 2 + 51
2
102⟌255
- 204
51
Step : (3) 102 = 51 * 2 + 0
2
51⟌102
-102
0
Here the remainder is zero, and the new divisor is 51, so the highest common multiple of the given number will be 51.