NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH CHAPTER 1 REAL NUMBER EXERCISE 1.1 , QUESTION NUMBER FIRST ALL SOLUTION

प्रश्न - निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए ? 

(1) 135 और 225          (2) 196 और 38220       (3) 867 और 255  



हल : (1)  135  और  225  

यहाँ पर  225  >  135   इसका मतलब ही हे , यहाँ पर    a = 225  और  b = 135  होगा।  

अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर , 

               a     =           b             *           q               +                r  

     भाज्य         =         भाजक           *           भागफल     +         शेषफल  

 चरण : (1)     225      =     135           *              1            +           90    (r ,0 नहीं )

        

                                                                                   1                                                                             

135⟌225

                  - 135           

               90   

 चरण :  (2)    135  =   90       *       1    +      45 (r , 0 नहीं )  

                                                                                       1

                                                                            90    ⟌135 

                                                                                   -    90             

                                                                                                     45

                                                                                                                                

    चरण  : (3)     90    =  45      *        2      +        0   (r =0 ) 

                                                                                    2 

                                                                            45 ⟌90

                                                                                 - 90   

                                                                                      0

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया हे और नया भाजक 45 हे , अतः दी गयी संख्या का महत्तम समापवर्त्य  45  होगा। 



ENGLISH TRANSLATION :


Question: Use Euclid's division algorithm to find the greatest common multiple of the following numbers?


(1) 135 and 225 (2) 196 and 38220 (3) 867 and 255


Solution : (1) 135 and 225


Here 225 > 135 means that, here a = 225 and b = 135.


Now using Euclid's Lemma,


                 a = b * q + r


     dividend = divisor * quotient + remainder


 Step : (1) 225 = 135 * 1 + 90 (r not 0)


                                    1

                           135⟌225

                                   - 135

                                         90


 Step : (2) 135 = 90 * 1 + 45 (r , not 0)


                                                                                                1

90⟌135

        - 90

          45

Step : (3) 90 = 45 * 2 + 0 (r =0 )


Since here the remainder is zero and the new divisor is 45, so the highest common multiple of the given number will be 45.

 (2) 196  और  38220 

हल : यहाँ 38220  > 196  इसलिए , a  = 38220   और  b =196  

अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर ,

                       a      =       b         *       q    +        r  

                  38220     =     196     *     195     +     0   (r =0 ) 



                                              19 5



                                 196 ⟌38220

                                           -196

                                                                                         1 8 6 2                                             

                                      -1 7 6 4

                                        9 8 0

                                       -9 8 0

                                           0     

यहाँ शेषफल शून्य हे , और  नया भाजक  196  हे ,इसलिए दी गयी संख्या  महत्तम समापवर्त्य 196 हे। 

ENGLISH TRANSLATION :

(2) 196 and 38220


Solution : Here 38220 > 196 Therefore, a = 38220 and b =196


Now using Euclid's Lemma,


                       a = b * q + r


                  38220 = 196 * 195 + 0 (r =0 )



                                    19 5



                                 196 ⟌38220

                                           -196

                                                                                                 1 8 6 2                                                      

                                      -1 7 6 4 

                                         9 8 0

                                        -9 8 0

                                             

                                            0  


Here the remainder is zero, and the new divisor is 196, so the given number's greatest common multiple is 196.

(3) 867 और 255 

हल:   यहाँ  867 > 255  इसलिए , a  = 867  और  b  = 255  होगा। 

अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर , 

चरण : (1)

                     a         =         b          *          q      +         r 

                   867       =        255       *          3       +     102  



                                                        3     

                                             255⟌867

                                                                 - 765           

                                                 102 


चरण : (2)  255       =          102        *        2        +      51 


                                                  2   

                                          102⟌255

                                                         -  204      

                                                 51   


चरण : (3)   102        =           51         *        2        +       0   


                                         2   

                                     51⟌102

                                                  -102    

                                            0

      यहाँ शेषफल शून्य हे , और नया भाजक  51  हे , इसलिए दी गयी संख्या का महत्तम समापवर्त्य 51 होगा। 

ENGLISH TRANSLATION:

(3) 867 and 255


Solution: Here 867 > 255 Therefore, a = 867 and b = 255.


Now using Euclid's Lemma,


Phase 1)


                     a         =         b         *      q        +              r


                   867       =       255       *      3        +            102



                                                        3

                                              255⟌867

                                                    - 765

                                                       102


Step : (2)         255     =     102     *      2      +         51 



                                                 2

                                       102⟌255

                                             - 204

                                                 51


Step : (3)     102      =       51     *       2     +       0 



                                        2

                                51⟌102

                                     -102

                                         0


      Here the remainder is zero, and the new divisor is 51, so the highest common multiple of the given number will be 51.

 

  

 

                               

                                                                                            

 

       

  


                                              

 

 

 

 

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