प्रश्न - (2 ) दर्शाइए की कोई धनात्मक विषम पूर्णांक 6 q + 1 या 6q + 3 या 6 q + 5 के रूप का होता हे ?
हल : माना a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक हे , तथा यहाँ पर b = 6 हे।
अब यूक्लिड विभाजिका प्रमेय का उपयोग करने पर ,
a = b * q + r जहाँ r का मान 0 के बराबर होगा या 0 से बड़ा लेकिन b से हमेशा छोटा होगा।
तब , r के संभावित मान r = 0 ,1 , 2 , 3 ,4 , 5 होंगे।
जब r = 0 तो , a = 6q होगा।
जब r = 1 तो , a = 6q + 1 होगा।
=> r =2 तो, a = 6q + 2 होगा।
=> r =3 तो , a = 6q + 3 होगा।
=> r =4 तो , a = 6 q + 4 होगा।
=> r = 5 तो , a = 6 q + 5 होगा।
लेकिन यहां पर 6q , 6q +2 , 6q + 4 को विषम संख्या के रूप में नहीं लिखेंगे। क्यूंकि ये सभी सम संख्या हे। और 2 से विभाज्य हे।
अतः उपरोक्त से स्पस्ट हे , a को हम 6q +1 , 6q +3 और 6q +5 रूप में लिख सकते हे।
ENGLISH TRANSLATION :
Question - (1) Show that any positive odd integer is of the form 6 q + 1 or 6q + 3 or 6 q + 5?
Solution : Let a be any positive odd integer, and here b = 6.
Now using Euclid's divisibility theorem,
a = b * q + r where r will be equal to 0 or greater than 0 but always smaller than b .
Then , possible values of r will be r = 0 ,1 , 2 , 3 ,4 , 5 .
When r = 0, then a = 6q.
When r = 1, then a = 6q + 1.
=> r = 2 So, a = 6q + 2 will be.
=> r = 3 So, a = 6q + 3 will be.
=> r = 4 So, a = 6 q + 4 will be.
=> r = 5 So, a = 6 q + 5 will be.
But here 6q , 6q + 2 , 6q + 4 will not be written as odd numbers. Because these are all even numbers. and is divisible by 2.
So it is clear from above, we can write a in the form 6q +1 , 6q +3 and 6q +5.
प्रश्न -(3 ) किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बेण्ड के पीछे कार्य करना हे। दोनों समूह को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना हे। उन् स्तम्भो की अधिकतम संख्या क्या हे , जिसमे वे मार्च कर सकते हे ?
हल : प्रश्न से स्पस्ट हे की यहाँ पर हमें अधिकतम संख्या ज्ञात करनी हे , इसका मतलब हमें 32 और 616 का H . C . F . निकलना होगा।
इसके लिए हम यूक्लिड एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हे।
a = b * q + r
=> 616 = 32 * 19 + 8
19
32⟌616
-608
8
=> 32 = 8 * 4 + 0 (r =0 )
4
8 ⟌ 32
- 32
0
अधिकतम स्तम्भों की संख्या H . C . F . ( 616 ,32 ) = 8
ENGLISH TRANSLATION:
Question-(2) In a parade, an army contingent of 616 members has to work behind an army band of 32 members. Both the groups have to march in the same number of columns. What is the maximum number of pillars in which they can march?
Solution: It is clear from the question that here we have to find the maximum number, that means we have 32 and 616 H. C. F. Gotta leave.
For this we use Euclid's algorithm.
a = b * q + r
=> 616 = 32 * 19 + 8
19
32⟌616
-608
8
=> 32 = 8 * 4 + 0 (r =0 )
4
8 ⟌ 32
- 32
0
Maximum number of columns H. C. F. ( 616 ,32 ) = 8
प्रश्न - (4 ) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए की किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए 3m
या 3m +1 के रूप का होता हे।
हल : माना की x कोई धनात्मक पूर्णांक हे , तब इसे हम 3q , 3q + 1 और 3q +2 के रूप में लिख सकते हे।
प्रथम स्थिति में ,
x = 3q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,
=> x ^ 2 = ( 3 q ) ^ 2
=> x^ 2 = 9q ^ 2
=> x^ 2 = 3 * 3 q ^ 2
=> x^ 2 = 3 m जहाँ m = 3q^ 2
द्वितीय स्थितिओ में ,
x = 3q + 1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,
x ^ 2 = (3q +1 )^ 2
=> x^ 2 = (3q )^ 2 + 1^ 2 + २ * 3q * 1 { (a +b )^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 a b }
=> x^ 2 = 9q^ 2 + 1 + 6q
=> x ^ 2 = 3q (3q +2 ) + 1
=> x ^ 2 = 3 m + 1 जहाँ m = 3q + 2
तृतीय स्थिति ,
x = 3q + 2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,
=> x ^ 2 = (3q +2 )^ 2
=> x ^ 2 = (3q )^ 2 + 2 ^ 2 + 2 * 3q * 2
=> x ^ 2 = 9q^ 2 + 4 + 12 q
=> x ^ 2 = 9q ^ 2 + 12q + 3 +1
=> x ^ 2 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1 ) + 1
=> x ^ 2 = 3 m +1 जहाँ m = (3q ^ 2 +4q +1 )
उपरोक्त से स्पष्ट हे की ,
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Question - (4) Using Euclid's division lemma, show that 3m for any positive integer m
Or is of the form 3m+1.
Solution : Let x be any positive integer, then we can write it in the form 3q , 3q + 1 and 3q +2.
In the first case,
x = 3q
On squaring both sides,
=> x ^ 2 = ( 3 q ) ^ 2
=> x^ 2 = 9q ^ 2
=> x^ 2 = 3 * 3 q ^ 2
=> x^ 2 = 3 m where m = 3q^ 2
In the second case,
x = 3q + 1
On squaring both sides,
x ^ 2 = (3q +1 )^ 2
=> x^ 2 = (3q )^ 2 + 1^ 2 + 2 * 3q * 1 { (a +b )^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 a b }
=> x^ 2 = 9q^ 2 + 1 + 6q
=> x ^ 2 = 3q (3q +2 ) + 1
=> x ^ 2 = 3 m + 1 where m = 3q + 2
third position,
x = 3q + 2
On squaring both sides,
=> x ^ 2 = (3q +2 )^ 2
=> x ^ 2 = (3q )^ 2 + 2 ^ 2 + 2 * 3q * 2
=> x ^ 2 = 9q^ 2 + 4 + 12 q
=> x ^ 2 = 9q ^ 2 + 12q + 3 +1
=> x ^ 2 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1 ) + 1
=> x ^ 2 = 3 m +1 where m = (3q ^ 2 +4q +1 )
It is clear from above that,
The square of a positive integer is of the form 3m or 3m + 1 for any integer m.
प्रश्न - (5) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए की किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m ,
9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता हे ?
हल : माना की a कोई धनात्मक पूर्णांक हे। तब हम इसे 3q , 3q +1 व 3q + 2 के रूप में लिख सकते हे।
प्रथम स्थिति ,
माना a = 3q
दोनों पक्षों का घन करने पर ,
a ^ 3 = (3q )^ 3
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3
=> a ^ 3 = 9 *3 q ^ 3
=> a ^ 3 = 9 m जहाँ m = 3q ^ 3
द्वितीय स्थिति ,
a = 3q +1
दोनों पक्षों का घन लेने पर ,
=> a^ 3 = (3q +1 )^ 3
=> a ^ 3 = (3 q )^ 3 +1 ^ 3 + 3 * (3q )^ २ *1 +3 *3q *1^2
चूँकि ( a + b )^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 * a ^ 2 *b +3 *a ^ 2 *b का प्रयोग।
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 + 1 +27q^ 2 +9q
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 +27q^ 2 +9q +1
=> a ^ 3 = 9 q (3q ^ 2 +3q +1 ) +1
=> a ^ 3 = 9 m +1 जहाँ m = q (3q^ 2 +3q +1 )
तृतीय स्थिति ,
a =3q +2
दोनों पक्षों का घन लेने पर ,
=> a^ 3 = (3q +2 )^ 3
=> a ^ 3 = (3 q )^ 3 +2 ^ 3 + 3 * (3q )^ २ *2 +3 *3q *2 ^2
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 + 8 +54 q^ 2 +36 q
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 +54 q^ 2 +36 q + 8
=> a ^ 3 = 9 q (3q ^ 2 +6 q +4 ) + 8
=> a ^ 3 = 9 m +8 जहाँ m = q (3q^ 2 +6q +4 )
अतः स्पष्ट हे की हम धनात्मक पूर्णांक a को 9m , 9m +1 तथा 9m +8 के रूप में लिख सकते हे।
नोट : दोस्तों यहाँ पर (^ ) का मतलब घात से हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Question - (5) Using Euclid's division lemma, show that the cube of a positive integer is 9m,
What is the form of 9m + 1 or 9m + 8?
Solution : Let a be a positive integer. Then we can write it as 3q , 3q +1 and 3q + 2.
first position,
Let a = 3q
Cubed on both sides,
a ^ 3 = (3q )^ 3
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3
=> a ^ 3 = 9 * 3 q ^ 3
=> a ^ 3 = 9 m where m = 3q ^ 3
second position,
a = 3q +1
Taking the cube of both the sides,
=> a^ 3 = (3q +1 )^ 3
=> a ^ 3 = (3 q )^ 3 +1 ^ 3 + 3 * (3q )^ 2 *1 +3 *3q *1^2
Since ( a + b )^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 * a ^ 2 *b +3 *a ^ 2 *b .
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 + 1 +27q^ 2 +9q
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 +27q^ 2 +9q +1
=> a ^ 3 = 9 q (3q ^ 2 +3q +1 ) +1
=> a ^ 3 = 9 m +1 where m = q (3q^ 2 +3q +1 )
third position,
a =3q +2
Taking the cube of both the sides,
=> a^ 3 = (3q +2 )^ 3
=> a ^ 3 = (3 q )^ 3 +2 ^ 3 + 3 * (3q )^ 2 *2 +3 *3q *2 ^2
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 + 8 +54 q^ 2 +36 q
=> a ^ 3 = 27 q ^ 3 +54 q^ 2 +36 q + 8
=> a ^ 3 = 9 q (3q ^ 2 +6 q +4 ) + 8
=> a ^ 3 = 9 m +8 where m = q (3q^ 2 +6q +4 )
So it is clear that we can write positive integer a in the form 9m , 9m + 1 and 9m +8 .
Note: Friends, here (^) means power.
ENGLISH TRANSLATION: