दोस्तों अब हम WHAT IS TERMINATING NUMBERS AND NON TERMINATING NUMBERS के बारे में जानेंगे। ( शांत और अशांत दशमलव )
Q.(1)अब शांत दशमलव के बारे में जानेंगे ?
उत्तर : दोस्तों शांत दशमलव में क्या होता हे ?
जैसे हम कोई परिमेय संख्या मानलो हम 2/5 ही लेते हे जब हम 2 को 5 से भाग देते हे तो शेषफल हमेशा शुन्य ही आएगा या कोई भी परिमेय संख्या जिसमे अंश को हर से भाग देते हे तो शेषफल शून्य आता हे , तो वहां शांत दशमलव होता हे , शेषफल का शून्य आना और पूरा भाग चला जाना ही शांत दशमलव होता हे।
उदाहरण : 2 ÷ 5 = 0.4
यहाँ पर उत्तर 0.4 शांत दशमलव प्रसार कहलाता हे।
ये स्थिती परिमेय संख्या कहलाती हे।
ENGLISH TRANSLATION :
Q.(1) Now we will learn about quiet decimal?
Answer: Friends, what is in the decimal point?
Like if we take any rational number, suppose we take 2/5 only, when we divide 2 by 5 then the remainder will always be zero or any rational number in which the numerator is divided by the denominator, then the remainder comes to zero, so there is no There is a decimal, the remainder coming to zero and leaving the whole part is a quiet decimal.
Example: 2 5 = 0.4
Here the answer 0.4 is called the quiet decimal expansion.
This position is called rational number.
उत्तर : अशांत दशमलव ,बिल्कुल शांत दशमलव के उलट होता हे। इसमें कभी भी शेषफल शुन्य नहीं आता हे।
जैसे - 1/3 और 1 ÷ 3 = 0.33333....अशांत दशमलव प्रसार कहलाता हे।
जब आप 1 को 3 से भाग देंगे तो हमेशा शेषफल 1 बार बार आता रहेगा। और भाग लगातार चलता रहेगा।
ये दो प्रकार से होता हे।
(1) आवृत्ति दशमलव प्रसार - ऊपर 1 / 3 या 1÷3 = 0.33.. का जो उदाहरण हे इसमें शेषफल का जो उदाहरण हे , इसमें शेषफल 1 की आवृत्ति होती रहती हे , और कभी भी शेषफल शुन्य नहीं आता हे। इसलिए ये स्थिति अशांत आवृत्ति दशमलव प्रसार हे।
Note : 1/3 वाली स्थिति भी परिमेय संख्या हे।
(क्यूंकि यहाँ पर अशांत आवृत्ति दशमलव वाली स्थिति हे।
(2) अशांत और अनावर्ती दशमलव : ये ऐसी अवस्था हे , जिसमे न तो शेषफल शून्य होता हे और न ही आवृत्ति होती हे।
Note :इस तरह की अवस्था अपरिमेय संख्या वाली अवस्था हे ,क्यूंकि इसमें न तो शेषफल शून्य आता हे और न हीं शेषफल की आवृत्ति होती हे।
ENGLISH TRANSLATION :
Q.(2) Friends, now we will learn about turbulent decimal?
Answer: Turbulent decimal is exactly the opposite of quiet decimal. In this, the remainder never comes to zero.
For example - 1/3 and 1 3 = 0.33333.... is called turbulent decimal expansion.
When you divide 1 by 3, the remainder will always be 1 repeated. And the part will go on and on.
This happens in two ways.
(1) Frequency Decimal Expansion - The above example of 1 / 3 or 1÷3 = 0.33.. In this example of remainder, in this the remainder of the frequency is 1, and the remainder is never zero. Hence this condition is the turbulent frequency decimal expansion.
Note : The position of 1/3 is also a rational number.
(Because here the turbulent frequency is the decimal position.
(2) Turbulent and non-recurring decimals: These are the states in which neither the remainder nor the frequency is zero.
Note: Such a state is an irrational number state, because neither the remainder comes to zero nor the frequency of the remainder is there.
Q.(3) अशांत दशमलव और शांत दशमलव की पहचान परिमेय संख्या में केसे आसानी से कर सकते हे ?
उत्तर : इसके लिए - " जब भी आप दोस्तों किसी परिमेय संख्या जो p/q के रुप (2/3) के रूप में लिखी होती हे , जहाँ पर p और q पूर्णांक हे , और q कभी भी शून्य नहीं होना चाहिए जैसे 1/ 0 , ये अपरिभाषित हो जाता हे।
Note: ऐसी परिमेय संख्या जिसके हर में :
(1) केवल 2 की घात होना चाहिए।
(2) केवल 5 की घात होना चाहिए।
(3) 2 और 5 दोनों की घात होना चाहिए।
तो ऐसी परिमेय संख्या को शांत दशमलव प्रसार कहलाती हे।
यदि हर में ऊपर वाली स्थिति नहि हे तो , इसका मतलब हे की केवल 2, केवल 5 , या 2 और 5 दोनों (2×5=10) के अलावा कोई और संख्या आती हे। तो वह अशांत दशमलव प्रसार कहलाता हे।
जैसे : उदाहरण :
शांत दशमलव के उदाहरण निम्न प्रकार हे।
2/5, 2/10, 2/25, 1/8,.......
यहाँ हर में 2/5 में हर 5 हे इसलिए यह शांत दशमलव होगा। 2/10 में हर 10 (2×5) में 2 की घात 1 और 5 की घात 1 हे (2 और 5 की घात कितनी भी हो सकती हे। ,इसलिए ये भी शांत दशमलव होगा। इसी प्रकार 2/25 में 25 (5×5=5 की घात केवल 2 हे ) इसलिए ये भी शांत दशमलव होगा। इसी प्रकार
1/8 में हर में 8 = 2×2×2=केवल 2 की घात 3 हे , इसलिए भी ,शांत दशमलव होगा।
अशांत दशमलव के उदाहरण हे , 11/1331, 1/7, 13/ 15 ,625/ 21.....
उपरोक्त उदाहरण में हर में 1331=11×11×11=11 की घात 3 हे।
क्यूंकि यहाँ पर हर में न तो केवल 2 की घात हे और न हीं केवल 5 की घात हे और न ही 2 और 5 (दोनों साथ में) कोई घात हे ,इनके अलावा कोई तीसरा ही संख्या 11 हे। इसलिए ये अशांत दशमलव प्रसार होगा।
ENGLISH TRANSLATION :
Q.(3) How can we easily identify turbulent decimals and quiet decimals in rational numbers?
Answer: For this - "Whenever you guys are writing a rational number in the form of p/q (2/3), where p and q are integers, and q should never be zero like 1/ 0 , it becomes undefined.
Note: A rational number whose denominator is :
(1) Must be only to the power of 2.
(2) Must be only to the power of 5.
(3) Both 2 and 5 must be to the power.
So such a rational number is called a quiet decimal expansion.
If the denominator does not contain the above condition, it means that there is a number other than only 2, only 5, or both 2 and 5 (2×5=10). So it is called turbulent decimal expansion.
Eg: Example:
The following are examples of quiet decimals.
2/5, 2/10, 2/25, 1/8,.......
Here the denominator is 5 in the 2/5, so it will be a quiet decimal. Every 10 (2×5) in 2/10 is 1 to the power of 2 and 5 to the power of 1 (whatever the power of 2 and 5 can be. , so it will also be a quiet decimal. Similarly, in 2/25, 25 ( The power of 5×5=5 is only 2 ) so it will also be a quiet decimal.
The denominator in 1/8 is 8 = 2×2×2=3 to the power of just 2, so it will also be a quiet decimal.
Examples of turbulent decimals are 11/1331, 1/7, 13/ 15 ,625/ 21.....
In the above example, the denominator of 1331=11×11×11=11 is 3 to the power.
Because here the denominator is neither only to the power of 2 nor to the power of 5 only, nor is 2 and 5 (both together) to any power, except these there is no third number 11. So this would be a turbulent decimal expansion.
Thanks
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