Q.(1) दोस्तों अब हम बीजगणितिय सूत्र को कैसे याद रख सकते हे ,इसके बारे में समझते हे ?
उत्तर : (1) x ^ m × x ^ n = x ^ (m + n)
दोस्तों यहाँ पर (^) का मतलब घात से हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Q.(1) Friends, now how can we remember the algebraic formula, understand about it?
Answer : (1) x ^ m × x ^ n = x ^ (m + n)
Friends, here (^) means power.
👉 दोस्तों ऊपर वाले सूत्र में x को आधार कहा जाता हे।
👉 m और n , x की घात हे।
👉 आप ऊपर वाले सूत्र में देख पा रहे हे की वहां पर जो आधार x हे वो एक जैसे बराबर हे।
👉 कहने का तात्पर्य हे की आधार सामान होने पर घाते जुड़ जाती हे , जब इनके बीच में चिन्ह (×) हो।
ENGLISH TRANSLATION:
Friends, in the above formula, x is called the base.
m and n are powers of x.
You can see in the above formula that the base x there is equal to the same.
The meaning of saying is that the exponents are added when the base is the same, when there is a sign (×) between them.
(2) x ^ m ÷ x ^ n = x ^ (m - n)
👉 दोस्तों यहाँ पर इस सूत्र में x जो की आधार हे , और घात अलग अलग हे।
👉 लेकिन यहाँ पर चिन्ह ,भाग का हे , इस वजह से घात में (m-n) आता हे।
👉 कहने का मतलब हे की यदि आधार समान हो ,और उनके बीच में चिन्ह , भाग (÷) वाला हो ,तो x की घात m-n होगी।
ENGLISH TRANSLATION:
(2) x ^ m x ^ n = x ^ (m - n)
Friends, here in this formula x which is the base, and the power is different.
But here the sign is of division, because of this (m-n) comes in the power.
To say means that if the base is the same, and the sign between them is the division (÷), then the power of x will be m-n.
(3) ( x ^ m) ^ n = x ^ (m × n)
दोस्तों ये वाला सूत्र घात की घात वाला हे।
(4) x^ (-m) = 1 / x ^ m
दोस्तों यहाँ पर ऋणात्मक घात को धनात्मक घात में बदलने के लिए ,ऋणात्मक संख्या को संख्या 1 के भाग में ले जाते हे।
इसका उलट भी हम कर सकते हे धनात्मक घात को ऋणात्मक घात में बदलने के लिए ऊपर ले जाते हे।
जैसे 1 / x ^ m = x^(-m)
(5) x^0 = 1 होता हे।
कोई भी संख्या की घात शून्य हो तो वो 1 के बराबर होती हे।
(6) (x + a) (x + b) = x^2 + (a +b) x + ab
इससे हल करने का तरीका या सूत्र याद रखने का तरीका निम्न प्रकार हे।
Step- (1) x (x +b) = x^2 + b x
सूत्र no. 6 गुणांक में पहला गुणांक (x +a) के x से दूसरे गुणांक में गुणा करते हे।
Step - (2) a (x +b)= a x + ab
उसके बाद गुणांक (x +a) के a से दूसरे वाले गुणांक में (x +b) में गुणा करते हे।
Step -(3) x^2 + b x + a x + ab
ऊपर वाले गुणांक से प्राप्त परिणाम को जोड़ते हे।
Step -(4) x^2 + (b +a)x + ab
जोड़ने के बाद मध्य के पद में से (x) को उभयनिष्ठ लेते हे।
(7) दोस्तों इसी प्रकार से कुछ अन्य सूत्र भी याद रख सकते हे।
ENGLISH TRANSLATION :
(3) ( x ^ m) ^ n = x ^ (m × n)
Friends, this formula is of power of power.
(4) x^ (-m) = 1 / x ^ m
Friends, here to convert negative power to positive power, we take the negative number in the division of the number 1.
We can also do the opposite, move up to convert the positive power to the negative power.
e.g. 1 / x ^ m = x^(-m)
(5) x^0 = 1 happens.
If the power of any number is zero, it is equal to 1.
(6) (x + a) (x + b) = x^2 + (a +b) x + ab
The way to solve it or the way to remember the formula is as follows.
Step- (1) x (x +b) = x^2 + b x
Formula no. In the 6th coefficient, the first coefficient (x + a) is multiplied by x in the second coefficient.
Step - (2) a (x + b)= a x + ab
Then multiply the coefficient (x + a) of a by the other coefficient in (x + b).
Step -(3) x^2 + b x + a x + ab
Add the result obtained from the above coefficient.
Step -(4) x^2 + (b +a)x + ab
After adding (x) from the middle term, take the common one.
(7) Friends can remember some other formulas in the same way.
जैसे : (x-a)(x-b) = x^2 - b x -a x + ab
Or
= X^2 - (b +a)x + ab
(8) (x+ a) (x-b) = x^2 - b x + a x - ab
Or
= X^2 - (b - a) x - ab
(9) (a + b)(a - b) = a(a-b) + b (a-b)
= a^2 - ab + ab - b^2
(a +b) (a-b) = a^2 - b^2
दूसरे पद में ab से ab निरस्त हो जाता हे ,क्यूंकि इसमें एक धनात्मक हे और एक ऋणात्मक हे।
(10) (a +b) ^2 = (a +b) (a +b)
= a (a +b) +b(a +b)
= a^2 + ab + ab + b^2
दोस्तों यहाँ पर ab और ab जोड़ने पर 2ab प्राप्त होता हे।
(11) (a -b) ^2 =( a -b) (a-b)
= a (a-b) -b(a-b)
= a^2 - ab - ab + b^2
(a-b)^2= a^2 - 2ab + b^2
यहाँ दोनों ab ऋणात्मक हे , इस वजह से जुड़ेंगे लेकिन चिन्ह ऋणात्मक ही होंगे।
कुछ महत्वपूर्ण तथ्य चिन्ह के बारे में ,
👉 (- ) चिन्ह का (- ) से गुणा (+) लता हे।
👉 (- ) चिन्ह का (+) चिन्ह से गुणा (-) ही लाता हे।
👉 (+) चिन्ह का (+) चिन्ह से गुणा (+) ही लाता हे।
जब भी एक जैसे चिन्ह का गुणा करते हे तो हमेशा (+) ही आता हे।
👉 विपरीत चिन्ह का गुणा करते हे तो हमेशा (-) चिन्ह ही आता हे।
(12) (a +b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2
(a +b) ^3 ={ (a +b) (a +b)} (a +b)
= { a^2 + b^2 + 2ab} (a +b)
={a^3 +ab^2 + 2(a^2) b + b(a^2)+b^3+2a(b^2)}
={a^3+b^3+3(a^2)b +3a(b^2)}
(a +b)^3 = a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)
ENGLISH TRANSLATION:
For example: (x-a)(x-b) = x^2 - b x -a x + ab
Or
= X^2 - (b +a)x + ab
(8) (x+ a) (x-b) = x^2 - b x + a x - ab
Or
= X^2 - (b - a) x - ab
(9) (a + b)(a - b) = a(a-b) + b (a-b)
= a^2 - ab + ab - b^2
(a +b) (a-b) = a^2 - b^2
In the second term ab is cancelled, because it has one positive and one negative.
(10) (a +b) ^2 = (a +b) (a +b)
= a (a +b) +b(a +b)
= a^2 + ab + ab + b^2
Friends, adding ab and ab here gives 2ab.
(11) (a -b) ^2 =( a -b) (a-b)
= a (a-b) -b(a-b)
= a^2 - ab - ab + b^2
(a-b)^2= a^2 - 2ab + b^2
Here both ab is negative, because of this, the sign will be negative.
Some important facts about the sign,
The (- ) sign is multiplied by (- ) (+).
The multiplication of (- ) sign with (+) sign brings only (-).
The multiplication of (+) sign by (+) sign brings only (+).
Whenever we multiply the same sign, always (+) comes.
When multiplying the opposite sign, always the (-) sign comes.
Thanks.