- HOW MANY QUESTIONS ARE THERE IN EXERCISE 1.3 OF CLASS 10TH MATHS CHAPTER 1?
- EXERCISE 1.3 CLASS 10 MATHS IN HINDI
- EX. 1.3 CLASS10 QUESTION 2
- NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS
प्रश्न - (१) सिद्ध कीजिये की √5 एक अपरिमेय संख्या हे ?
हल : इस प्रश्न को हल करने के लिए हम विरोध उक्ति विधि का उपयोग करते हे। जिसमे हमे इसके विपरीत √5 को
परिमेय संख्या मानना होता हे।
माना √5 एक परिमेय संख्या हे , तब हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे।
√5 = a / b जहाँ b , 0 नहीं हो सकता।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,
=> (√5 )^ 2 = (a / b)^ 2 { ^2 का मतलब घात 2 से हे }
=> 5 = a ^ 2 / b ^ 2
=> 5 b ^ 2 = a ^ 2 ------->(1)
=> अतः a ^ 2 , 5 से विभाज्य हे अर्थात a भी 5 से विभाज्य होगा।
अतः हम a = 5 c ले सकते हे , जहाँ c एक पूर्णांक हे।
=> 5b ^ 2 = (5 c )^ 2
=> 5 b ^ 2 = 25 c ^ 2
=> b ^ 2 = (25 / 5 ) c ^ 2
=> b ^ 2 = 5 c ^ 2
अतः b ^ 2 , 5 से विभाज्य हे , इसलिए b भी 5 से विभाज्य होगा। इसलिए a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 हे।
लेकिन यह एक विरोधाभास हे , की a और b दो सह - अभाज्य संख्या हे। यह विरोधाभास त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
इससे निष्कर्ष निकलता हे की √5 एक परिमेय संख्या हे। इति सिद्धम
ENGLISH TRANSLATION :
Question - (1) Prove that √5 is an irrational number?
Solution : To solve this question, we use the opposition statement method. In which we have to reverse 5 Rational number has to be considered.
Let 5 be a rational number, then we can write it as follows.
=> √5 = a / b where b cannot be 0.
On squaring both sides,
=> (√5 )^ 2 = (a / b)^ 2 { ^2 means to the POWER 2 }
=> 5 = a ^ 2 / b ^ 2
=> 5 b^2 = a^2 ------->(1)
=> So a ^ 2 is divisible by 5 i.e. a will also be divisible by 5.
So we can take a = 5 c , where c is an integer.
=> 5b ^ 2 = (5 c )^ 2
=> 5 b^2 = 25 c^2
=> b ^ 2 = (25 / 5 ) c ^ 2
=> b^2 = 5 c^2
So b ^ 2 is divisible by 5 , so b will also be divisible by 5. Therefore a and b have at least one common factor of 5.
But it is a contradiction, that a and b are co-prime numbers. This contradiction was caused by a flawed imagery.
From this it follows that 5 is a rational number.
प्रश्न -(2) सिद्ध कीजिये की 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या हे ?
हल : इसके विपरीत हम ये मान लेते हे की 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या हे।
अतः हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे ,
=> 3 + 2√5 = a / b जहाँ a और b दो पूर्णांक हे। और b , 0 नहीं हो सकता।
=> 2√5 = (a / b) - 3
=> √5 = a /2b - 3 / 2
अतः a /2b - 3 / 2 एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए √5 भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए लेकिन हम जानते हे कि √5 एक अपरिमेय संख्या हे। यह विरोधाभास त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ हे।
इससे स्पष्ट हे 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Question -(2) Prove that 3 + 2√5 is an irrational number?
Solution : On the contrary let us assume that 3 + 2√5 is a rational number.
So we can write it as follows,
=> 3 + 2√5 = a / b where a and b are two integers. and b cannot be 0.
=> 2√5 = (a / b) - 3
=> √5 = a /2b - 3 / 2
So a /2b - 3 / 2 will be a rational number and hence 5 must also be a rational number but we know that 5 is an irrational number. This contradiction is due to a flawed imagination.
It is clear that 3 + 2√5 is an irrational number.
प्रश्न -(3) सिद्ध कीजिये की निम्नलिखित संख्याये अपरिमेय संख्याए हे ?
(i) 1 / √2 (ii) 7 √5 (iii) 6 + √2
हल : (i) इसके विपरीत हम ये मान लेते हे की 1 / √2 एक परिमेय संख्या हे। तब हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे।
1 / √2 = a / b जहाँ a और b दो पूर्णांक हे। और b , 0 नहीं हो सकता।
व्युत्क्रम लेने पर ,
√2 = b / a
यहाँ b / a एक परिमेय संख्या हे , इसलिए √2 भी एक परिमेय संख्या हे। लेकिन यह इस तथ्य का विरोध करता हे की √2 एक अपरिमेय संख्या हे।
अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हे , की 1 / √2 एक अपरिमेय संख्या हे।
ENGLISH TRANSLATION:
Question -(3) Prove that the following numbers are irrational numbers?
(i) 1 / √2 (ii) 7 √5 (iii) 6 + √2
Solution : (i) On the contrary we assume that 1 / √2 is a rational number. Then we can write it as follows.
=> 1 / √2 = a / b where a and b are two integers. and b cannot be 0.
On taking the inverse,
=> √2 = b / a
Here b / a is a rational number, so √2 is also a rational number. But this contradicts the fact that √2 is an irrational number.
So we conclude that 1 / √2 is an irrational number.