NCERT SOLUTIONs FOR CLASS 10 MATHS CHAPTER 1 REAL NUMBER EXercise 1.3 QUESTION 1,2 , and 3

  • HOW MANY QUESTIONS ARE THERE IN EXERCISE 1.3 OF CLASS 10TH MATHS CHAPTER 1?
  • EXERCISE 1.3 CLASS 10 MATHS  IN HINDI 
  • EX. 1.3 CLASS10 QUESTION 2 
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         NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS CHAPTER 1 REAL NUMBER EX.1.3 






प्रश्न - (१) सिद्ध कीजिये की √5  एक अपरिमेय संख्या हे ?

हल : इस प्रश्न को हल करने के लिए हम विरोध उक्ति विधि का उपयोग करते हे।  जिसमे हमे इसके विपरीत √5  को 

परिमेय संख्या मानना होता हे। 

 माना  √5 एक परिमेय संख्या हे , तब हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे।  

                                    √5 = a / b     जहाँ  b , 0  नहीं हो सकता। 

                दोनों पक्षों का वर्ग करने पर , 

      =>                         (√5 )^ 2 = (a / b)^ 2                     { ^2   का मतलब घात  2 से हे }

      =>                            5         =  a ^ 2 / b ^ 2 

      =>                           5 b ^ 2 = a ^ 2  ------->(1)

       =>  अतः a ^ 2 , 5  से विभाज्य हे अर्थात  a भी 5 से विभाज्य होगा। 

             अतः हम a = 5 c ले सकते हे , जहाँ c एक पूर्णांक हे। 

       =>                         5b ^ 2 = (5 c )^ 2   

       =>                         5 b ^ 2 = 25 c ^ 2 

       =>                         b ^ 2    = (25 / 5 ) c ^ 2 

       =>                         b ^ 2    = 5 c ^ 2 

    अतः b ^ 2 , 5  से विभाज्य हे , इसलिए b भी 5 से विभाज्य होगा। इसलिए a और b  में कम से कम एक उभयनिष्ठ  गुणनखंड 5 हे। 

लेकिन यह एक विरोधाभास हे , की a और b दो सह - अभाज्य संख्या हे।  यह विरोधाभास त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण  हुआ। 

इससे निष्कर्ष निकलता हे की  √5 एक परिमेय संख्या हे।                           इति सिद्धम    

ENGLISH TRANSLATION : 

Question - (1) Prove that √5 is an irrational number?


Solution : To solve this question, we use the opposition statement method. In which we have to reverse 5  Rational number has to be considered.

 Let 5 be a rational number, then we can write it as follows.


       =>      √5 = a / b where b cannot be 0.


                On squaring both sides,


      =>   (√5 )^ 2 = (a / b)^ 2 { ^2 means to the  POWER 2 }


      =>   5 = a ^ 2 / b ^ 2


      =>   5 b^2 = a^2 ------->(1)


       => So a ^ 2 is divisible by 5 i.e. a will also be divisible by 5.


             So we can take a = 5 c , where c is an integer.


       =>  5b ^ 2 = (5 c )^ 2


       =>  5 b^2 = 25 c^2


       =>  b ^ 2 = (25 / 5 ) c ^ 2


       =>  b^2 = 5 c^2


    So b ^ 2 is divisible by 5 , so b will also be divisible by 5. Therefore a and b have at least one common factor of 5.


But it is a contradiction, that a and b are co-prime numbers. This contradiction was caused by a flawed imagery.


From this it follows that 5 is a rational number. 

                    

प्रश्न -(2) सिद्ध कीजिये की 3 + 2√5  एक अपरिमेय संख्या हे ?

हल : इसके विपरीत हम ये मान लेते हे की   3 + 2√5  एक परिमेय संख्या हे।   

    अतः हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे ,

      =>       3 + 2√5    = a / b         जहाँ  a  और  b दो पूर्णांक हे।   और b , 0  नहीं हो सकता। 

      =>         2√5        =  (a / b) - 3 

      =>           √5        =  a /2b - 3 / 2 

अतः a /2b - 3 / 2 एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए  √5  भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए  लेकिन हम जानते हे कि √5 एक अपरिमेय संख्या हे। यह विरोधाभास त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ हे। 

इससे स्पष्ट हे  3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या हे। 

ENGLISH TRANSLATION:

Question -(2) Prove that 3 + 2√5 is an irrational number?


Solution : On the contrary let us assume that 3 + 2√5 is a rational number.


    So we can write it as follows,


      =>     3 + 2√5 = a / b         where a and b are two integers. and b cannot be 0.


      =>     2√5 = (a / b) - 3


      =>     √5 = a /2b - 3 / 2


So a /2b - 3 / 2 will be a rational number and hence 5 must also be a rational number but we know that 5 is an irrational number. This contradiction is due to a flawed imagination.


It is clear that 3 + 2√5 is an irrational number.

प्रश्न -(3)  सिद्ध कीजिये की निम्नलिखित संख्याये अपरिमेय संख्याए हे ?

                (i) 1 / √2             (ii) 7 √5             (iii) 6 +  √2 

हल : (i)    इसके विपरीत हम ये मान लेते हे की  1 / √2  एक परिमेय संख्या हे। तब हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हे। 

                                            1 / √2   =  a / b         जहाँ  a  और  b दो पूर्णांक हे।   और b , 0  नहीं हो सकता।         

                     व्युत्क्रम लेने पर  ,

                                                  √2  = b / a     

            यहाँ  b / a  एक परिमेय संख्या हे , इसलिए   √2  भी एक परिमेय संख्या हे। लेकिन यह इस तथ्य का विरोध करता हे की  √2  एक अपरिमेय संख्या हे। 

    अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हे , की 1 / √2 एक अपरिमेय संख्या हे। 

ENGLISH TRANSLATION:

Question -(3) Prove that the following numbers are irrational numbers?


                (i)  1 / √2                     (ii) √5                           (iii) 6 +  √2 


Solution : (i) On the contrary we assume that 1 / √2  is a rational number. Then we can write it as follows.


                                        =>    1 / √2  = a / b     where a and b are two integers. and b cannot be 0.


                     On taking the inverse,


                                        =>      √2  = b / a


            Here b / a is a rational number, so √2 is also a rational number. But this contradicts the fact that √2 is an irrational number.


    So we conclude that 1 / √2 is an irrational number.

             (ii) 7 √5  ,
        
   हल : इसके विपरीत हम ये मान लेते हे की √5  एक परिमेय संख्या हे।  इसे हम निम्न प्रकार लिख सकते हे। 

                                      √5  =    a / b      जहाँ  a और b  पूर्णांक हे , और b  ,0  नहीं हो सकता। 

                                =>   √5    =    a / 7 b 
                 चूँकि 7 , a  और b  पूर्णांक संख्या हे।  इसलिए   a / 7 b  एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए  √5  भी 
एक परिमेय संख्या होगी।  

लेकिन यह इस तथ्य का विरोध करता हे , की √5  एक अपरिमेय संख्या हे , अतः  निष्कर्ष निकलता हे की  √5 
एक अपरिमेय संख्या हे। 

ENGLISH TRANSLATION: 

                    (ii) 7 √5

Solution : On the contrary we assume that √5  is a rational number. We can write it as follows.

                                      √5 = a / b where a and b are integers, and b cannot be 0.

                                =>  √5 = a / 7 b
                 Since 7 , a and b are integer numbers. Hence a / 7 b will be a rational number and hence √5 also will be a rational number.

But this contradicts the fact that √5 is an irrational number, so we conclude that    7 √5
is an irrational number.
                    (iii) 6 +  √2 

       हल : इसके विपरीत हम यह मान लेते हे की 6 +  √2  एक परिमेय संख्या संख्या हे। 
    तब इसे हम निम्न प्रकार लिख सकते हे।  
                            
                        6 +  √2 =  a / b 
         
           =>         √2        =   a / b - 6  जहाँ  a  और b  पूर्णांक हे , और b  , 0 नहीं हो  सकता। 

    यहाँ a , b  और 6  पूर्णांक हे। इसलिए  a / b - 6  एक परिमेय संख्या हे और इसलिए √2   एक परिमेय संख्या हे। 
इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता हे की √2 अपरिमेय संख्या हे। 
अतः  यह निष्कर्ष निकलता हे की 6 +  √2  एक अपरिमेय संख्या हे। 

ENGLISH TRANSLATION: 

                    (iii) 6 +  √2 

Solution : On the contrary let us assume that   6 +  √2  is a rational number.
    Then we can write it as follows.
                            
                        6 +  √2  = a / b
         
           =>               √2   = a / b - 6         where a and b are integers, and b cannot be 0.

    Here a , b and 6 are integers. Therefore a / b - 6 is a rational number and hence 2 is a rational number.
This contradicts the fact that  √2 is an irrational number.
Hence it can be concluded that 6 +  √2  is an irrational number.


    
    
    
   









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