NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS CHAPTER 3 PAIR OF LINEAR EQUATION IN TWO VARIABLE EX 3.2

     👉NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS CHAPTER 3 PAIR OF LINEAR EQUATION IN TWO VARIABLE EX 3.2

     👉 EXERCISE 3.2 CLASS 10 MATHS 

    👉 NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS EXERCISE 3.2 CHAPTER 3

इस ब्लॉग में में आपको NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 MATHS CHAPTER 3 PAIR OF LINEAR EQUATION IN TWO VARIABLE EX 3.2 को detail में समझाऊंगा। 

प्रश्न -(1) निम्न समस्याओ में रेखिक समीकरणों के युग्म बनाइये और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिये :

(1) कक्षा  X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहली प्रतियोगिता में भाग लिया।  यदि लड़कियों की संख्या लड़को की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़को और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिये। 

(II ) 5  पेंसिल तथा 7  कलमों  का कुल मूल्य 50 रुपये हे जबकि 7  पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य 46 रुपये एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिये। 

हल : (I) मान लीजिये प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़को एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः X और Y हे  

तब प्रश्नानुसार ,                            X + Y = 10  --------->(1)

                                                            Y = 10 - X 

            एवं                                            Y = X + 4 ---------> (2) 




    

    
    

     
     दोनों ग्राफ परस्पर बिन्दू P ( 3 ,7 ) पर प्रतिच्छेद करते हे।  अतः लड़के एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः
      3 एवं 7 हे। 

        (ii)         मानलो पेंसिल और कलम का मूल्य क्रमशः x रुपये प्रति नग एवं y रुपये प्रति नग हे।  
                        तो प्रश्नानुसार ,     
       
                                 5x + 7y = 50         --------> (1 )
                                   
                                 y = (50 - 5x ) / 7 

            एवं                7 x + 5 y = 46       ---------> (2 ) 

                                    y =( 46 - 7x ) / 5 

    






    
चूँकि दोनों ग्राफ (3 , 5 ) पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हे।  अतः पेंसिल एवं कलम 3  रुपये प्रति नग एवं 5 रुपये प्रति नग हे।  


  ENGLISH TRANSLATION : 

    Question - (1) Form the pair of linear equations in the following problems and find their solution by graphical method :

(1) 10 students of class X participated in the first math competition. If the number of girls is 4 more than the number of boys, then find the number of boys and girls who participated in the competition.

(II) The total cost of 5 pencils and 7 pens is  R s 50 while the cost of 7 pencils and 5 pens is Rs 46. Find the cost of one pencil and the cost of one pen.

Solution : (I) Let the number of boys and girls participating in the competition be X and Y respectively.

Then according to the question, X + Y = 10 --------->(1)

                                                             Y = 10 - X

             and                                         Y = X + 4 ---------> (2) 









Both the graphs intersect each other at the point P ( 3 , 7 ). Hence the number of boys and girls respectively 3 and 7 

   (ii) Let the cost of pencil and pen be R s. x per piece and R s. y per piece respectively.
                         So according to the question,
       
                                  5x + 7y = 50 --------> (1)
                                   
                                  y = (50 - 5x ) / 7

             and 7 x + 5 y = 46 ---------> (2)

                                     y =( 46 - 7x ) / 5













Since both intersect each other on the graph (3 , 5 ). Hence pencil and pen are Rs.3 per piece and Rs.5 per piece.

प्रश्न -(2) अनुपातों    a 1 / a 2  , b 1 / b 2 और c 1 / c 2 की तुलना कर  ज्ञात कीजिये की निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हे , समानांतर हे अथवा सम्पाती हे। 
(i)         5x -4y +8 = 0                 (ii)    9x + 3y +12 = 0         (iii)    6x - 3y +10 = 0 

             7x +6y -9 = 0                         18x + 6y +24 = 0                   2x -y + 9   = 0 

हल : चूँकि       5x -4y +8 = 0  
                
          एवं          7x +6y -9 = 0     

यहाँ दिए गए समीकरण की तुलना  a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 तथा   a 2  x + b 2  y + c 2  = 0   से करने पर , 

                a 1 = 5 ,                     b 1 = -4 ,                         c 1 = 8 
 तथा         a 2 = 7 ,                     b 2 = 6 ,                           c 2 = -9 

इसलिए ,         a 1 / a 2 = 5 / 7 ,         b 1 / b 2 = -4 / 6 ,         c 1 / c 2 = 8 / -9 = -8 / 9 

स्पष्ट हे की ,               a 1 / a 2  बराबर नहीं  , b 1 / b 2  बराबर नहीं  c 1 / c 2  के। 

अतः रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हे।  अतः समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होगा। 

 (ii)    9x + 3y +12 = 0  
        18x + 6y +24 = 0 
हल :  इस समीकरण की तुलना सामान्य समीकरण a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 तथा   a 2  x + b 2  y + c 2  = 0   से करने पर ,  

                a 1 = 9  ,                     b 1 = 3 ,                         c 1 = 12 
 तथा         a 2 = 18  ,                  b 2 = 6 ,                         c 2 = 24 

इसलिए ,         a 1 / a 2 = 9  / 18 = 1 / 2  ,         b 1 / b 2 = 3 / 6 = 1 / 2  ,         c 1 / c 2 = 12 / 24 = 1 / 2 

यहाँ स्पष्ट हे की  ,                    a 1 / a 2  =  b 1 / b 2  =  c 1 / c 2 

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती हे।  

(iii)    6x - 3y +10 = 0 
           2x -y + 9   = 0 
  हल :  इस समीकरण की तुलना सामान्य समीकरण a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 तथा   a 2  x + b 2  y + c 2  = 0   से करने पर ,  

                 a 1 = 6   ,                  b 1 = -3 ,                         c 1 = 10 
 तथा         a 2 = 2   ,                  b 2 = -1  ,                         c 2 = 9  

इसलिए         a 1 / a 2 = 6 / 2  = 3 / 1   ,         b 1 / b 2 = -3 / -1  = 3 / 1  ,         c 1 / c 2 = 10 / 9  

स्पष्ट हे की ,         a 1 / a 2  बराबर हे   b 1 / b 2 के , लेकिन     c 1 / c 2  के बराबर नहीं हे।  

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हे। 

ENGLISH TRANSLATION : 

Question -(2) By comparing the ratios a 1 / a 2 , b 1 / b 2 and c 1 / c 2, find whether the lines represented by the following pair of equations intersect at a point, are parallel or coincide.

(i)     5x -4y +8 = 0                (ii) 9x + 3y +12 = 0                     (iii) 6x - 3y +10 = 0

       7x +6y -9 = 0                         18x + 6y +24 = 0                           2x -y + 9 = 0

Solution : Since 5x -4y +8 = 0
                
          and             7x +6y -9 = 0

Here, comparing the given equation with a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 and a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,

                    a 1 = 5 ,     b 1 = -4 ,         c 1 = 8
 and             a 2 = 7 ,     b 2 = 6 ,         c 2 = -9

Therefore, a 1 / a 2 = 5 / 7 ,     b 1 / b 2 = -4 / 6 ,     c 1 / c 2 = 8 / -9 = -8 / 9

Clearly, a 1 / a 2 is not equal, b 1 / b 2 is not equal to c 1 / c 2.

Hence the lines intersect at a point. Hence, the system of equations will have a unique solution.


(ii) 9x + 3y +12 = 0
         18x + 6y +24 = 0
Solution : Comparing this equation with the general equation a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 and a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,

                 a 1 = 9 ,         b 1 = 3 ,         c 1 = 12
  and         a 2 = 18 ,     b 2 = 6 ,     c 2 = 24

Therefore, a 1 / a 2 = 9 / 18 = 1/2 ,     b 1 / b 2 = 3 / 6 = 1/2 ,     c 1 / c 2 = 12 / 24 = 1/2

Here it is clear that a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2

So the lines represented by the pair of equations coincide.


(iii) 6x - 3y +10 = 0
            2x -y + 9 = 0

   Solution : Comparing this equation with the general equation a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 and a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,

                  a 1 = 6 , b 1 = -3 , c 1 = 10
  and         a 2 = 2 , b 2 = -1 , c 2 = 9

Therefore     a 1 / a 2 = 6 / 2 = 3 / 1 ,     b 1 / b 2 = -3 / -1 = 3 / 1 ,     c 1 / c 2 = 10 / 9

Obviously,     a 1 / a 2     is     equal to     b 1 / b 2 ,     but c 1 / c 2 is not equal.

So the lines represented by the pair of equations are parallel.

प्रश्न -(4) निम्न रेखिक समीकरणों के युग्मो में से कोन से युग्म संगत या असंगत हे।  यदि संगत हे तो ग्राफीय विधि से हल कीजिये। 
(i)     x + y = 5 ; 2x + 2y = 10 
(ii)    x - y = 8 ;  3x - 3y = 16 
(iii)   2x + y - 6 ; 4x -2y - 4 = 0   
(iv)   2x - 2y -2  = 0 ; 4x - 4y - 5 = 0 

हल : (i)      x + y  =   5  =>         x + y - 5 = 0 ---------> (1)

                  2x + 2y = 10 =>   2x + 2y - 10 = 0 -------->  (2) 

इस समीकरण की तुलना सामान्य समीकरण a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 तथा   a 2  x + b 2  y + c 2  = 0   से करने पर ,  

                a 1 = 1 ,             b 1 = 1 ,          c 1 = -5 
    
                a 2 = 2 ,             b 2 = 2 ,            c 2 = -10  



    अतः उक्त  रैखिक समिकरणो के युग्म संगत हे।  रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल  हे।  
चूँकि           x + y  =   5  

                    y  = 5 - x ------- ( 3 ) 
            
                x = 0     रखने पर  ,   

                    y = 5 - 0 
                
                    y = 5 

                x = 5  समीकरण  ( 3 ) में रखने पर , 
            
                y = 5 - 5 =0 




            
तथा            2x + 2y = 10 

                    y = (10 - 2x) / 2 ------- ( 4 ) 

        x = 0 रखने पर , 

                    y = (10 - 2 * 0 ) / 2 

                    y = 10 / 2 

                    y = 5  

        x = 5 रखने पर , 

                    y = (10 - 2 * 5 ) / 2 

                    y = (10 - 10) / 2 

                    y = 0 / 2 

                    y = 0  

        


    


        चूँकि रेखा युग्म सम्पाती  हे  , इसलिए रेखा का प्रत्येक बिंदु इसका हल होगा।  अतः उक्त रैखिक समीकरण अनंत अनेक हल होंगे। 

(ii)   चूँकि                                              x - y = 8  => x - y - 8 = 0 ---------> ( 1 )

                                        एवं          3 x - 3y = 16 => 3x - 3y -16 = 0 -------> ( 2 ) 
    इसलिए ,   
      

उक्त रेखिक समीकरण का युग्म असंगत हे। 

(iii ) चूँकि                     2x + y  -6 = 0 ---------> ( 1 ) 

                                     4x -2y -4 = 0 ---------- > ( 2 ) 



उक्त रेखिक समीकरण के युग्म संगत हे।  रेखीय समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :

चूँकि ,                 2x + y -6 = 0 

                                y = 6 - 2x -----(3 )
    x = 0 रखने पर , 
                                y = 6 - 2 * 0 

                                 y = 6 

पुनः x = 3 रखने पर , 

                                    y = 6 - 2 * 3 

                                     y = 6 - 6 

                                        y = 0 


एवं                             4x -2y -4 = 0 
                    
                                            y = 2x - 2 -------> (4 )
                
                x = 1 रखने पर , 
                                        
                                            y = 2 * 1 -2 

                                            y = 2 - 2 = 0 

                x = 4 रखने पर , 

                                            y = 2 * 4 - 2 

                                            y = 8 - 2 

                                            y = 6  




उक्त रेखिक समीकरण का हल (2 , 2 ) अर्थात x = 2 , y = 2 

(iv)    चूँकि                 2x - 2y -2 =0 -------- > ( 1 ) 
     एवं                         4x -4y -5 =0 --------- > (2 ) 




अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत हे। अर्थात रेखा युग्म समांतर हे। 



 










ENGLISH TRANSLATION :  

    Question-(4) Which of the following pairs of linear equations is compatible or inconsistent with? If relevant, solve by graphical method.
(i) x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8 ; 3x - 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 ; 4x -2y - 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0 ; 4x - 4y - 5 = 0

Solution : (i) x + y = 5 => x + y - 5 = 0 ---------> (1)

                  2x + 2y = 10 => 2x + 2y - 10 = 0 --------> (2)

Comparing this equation with the general equations a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 and a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,

                a 1 = 1 , b 1 = 1 , c 1 = -5
    
                a 2 = 2 , b 2 = 2 , c 2 = -10





    Hence, the above pair of linear equations are compatible. is the graphical solution of a pair of linear equations.
Since x + y = 5

                    y = 5 - x ------- ( 3 )
            
                Keeping x = 0,

                    y = 5 - 0
                
                    y = 5

                Substituting x = 5 in equation ( 3 ) ,
            
                y = 5 - 5 =0 


and                 2x + 2y = 10

                     y = (10 - 2x) / 2 ------- ( 4 )

         Keeping x = 0,

                     y = (10 - 2 * 0 ) / 2

                     y = 10 / 2

                     y = 5

         Keeping x = 5,

                     y = (10 - 2 * 5 ) / 2

                     y = (10 - 10) / 2

                     y = 0 / 2

                     y = 0


        


            

Since the pair of lines coincide, every point on the line will be its solution. Hence, the above linear equation will have infinitely many solutions.

(ii) Since x - y = 8 => x - y - 8 = 0 ---------> ( 1 )

                                         and 3 x - 3y = 16 => 3x - 3y -16 = 0 -------> ( 2 )
     Therefore ,    
                               
                                     

The pair of the above linear equation is inconsistent. 

(iii) Since                         2x + y -6 = 0 ---------> ( 1 )

                                      4x -2y -4 = 0 ---------- > ( 2 )

            

The pairs of the above linear equation are compatible. Graphical Solution of a Pair of Linear Equations:

Since , 2x + y -6 = 0

                                 y = 6 - 2x -----(3 )
     Keeping x = 0,
                                 y = 6 - 2 * 0

                                  y = 6

Putting again x = 3,

                                     y = 6 - 2 * 3

                                      y = 6 - 6

                                         y = 0


  and                                     4x -2y -4 = 0
                    
                                             y = 2x - 2 -------> (4)
                
                 Putting x = 1,
                                        
                                             y = 2 * 1 -2

                                             y = 2 - 2 = 0

                 Putting x = 4,

                                             y = 2 * 4 - 2

                                             y = 8 - 2

                                             y = 6






                

            Solution of the above linear equation (2 , 2 ) i.e. x = 2 , y = 2

            (iv) Since         2x - 2y -2 =0 -------- > ( 1 )
      and                         4x -4y -5 =0 --------- > (2 )

               

Hence, the above pair of linear equations is inconsistent. That is, the line pair is parallel.

 



    
























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